В соревнованиях фиг. катания участвуют 10 спортсменов. 3 судей дают каждому спортсмену очки-место. Первое место - победителю, 10-е- самому слабому. Т.е. каждый судья даёт каждому спортсмену определённое число от 1 до 10. Потом для каждого спортсмена три числа, выставленные ему, складываются, получается какая-то сумма. Спортсмен, набравший минимальное число очков, объявляется победителем. Вопрос:Какое максимальное минимальное число очков может набрать спортсмен, чтобы он смог стать победителем?

15
Например, 3 пятых места

_________________
Начинается с малого полный развал! © Тимур Шаов

КнязьВладимир, например это не доказательство.
Докажите, что участник, набравший больше 15-ти очков не может быть на первом месте

Речь идет о ситуации, когда 1-е место у единственного участника - или несколько человек могут разделить 1-е место ?

Да легко!
Сумма очков, которые наберут все участники, будет
3(число судей)*5(1+10)=165.
Разделим 165 на 10 и округлим вверх - получим 17. Допустим, что у каждого из проигравших спортсменов именно по 17 баллов; тогда у победителя 165-9*17=12 баллов. Очевидно, эта сумма не является "наибольшей из наименьших"; тогда отберём у трёх участников по 1 баллу (у них, таким образом, станет по 16) и добавим их нашему чемпиону - у него станет 15.
Это решение - без учёта гипотезы Златы, что победителей может быть несколько. Лично мне показалось из условия, что победитель - один; но, допустим, что регламент предусматривает определение победителя по дополнительным показателям, тогда возможно сразу пять спортсменов, набравших 16 баллов, один из которых и будет объявлен победителем.

_________________
Начинается с малого полный развал! © Тимур Шаов

условие перед вами. Я тоже понимаю, что победитель один

решение примерно такое:
Сумма всех очков от одного судьи - 55 (сумма чисел от 1 до 10). След., все спортсмены в сумме получают за соревнование 165 очков от 3-х судей. Предположим, что спортсмен с 16-ю очками - чемпион. Тогда остальные 9 спортсменов должны получить как минимум 17 очков. Тогда мин сумма очков, набранная 10-ю спортсменами будет 16+9*17=169, что больше 165 возможных. След, макс. число очков - 15. Далее, надо привести пример распределения по очкам и всё . . . задача решена