Дан квадрат, 5Х5 клеток. В каждой клетке сидит одна блоха.

---------------------
| * | * | * | * | * |
---------------------
| * | * | * | * | * |
---------------------
| * | * | * | * | * |
---------------------
| * | * | * | * | * |
---------------------
| * | * | * | * | * |
---------------------
Теоретически в клетке может находиться сколько угодно блох. В один момент времени, каждая блоха перепрыгивает на соседнюю клетку по поризонтали или по вертикали (оставаясь в пределах квадрата). Доказать, что после прыжка в квадрате останется хотя бы одна пустая клетка

Это уже сообразила. Очень просто.
Писать ответ - или пусть помучаются ?

Когда я думал о решении , мне пришла в голову группа "Не пара"

_________________
А роза упала на лапу Азора ...

Имеется виду, что после первого (одного) прыжка?
Потому что вторым они могут все вернуться на свои места.

А после первого - шахматка...

Гном, после одного прыжка, конечно

Чтобы после одного прыжка все клетки остались заняты, нужно, чтобы блохи перепрыгивали из клетки в клетку по одному или нескольким замкнутым "конвейерам". Но из-за того, что мы имеем квадрат со стороной, в которой нечётное число клеток, таких "конвейеров" не существует.

_________________
Начинается с малого полный развал! © Тимур Шаов

Согласен с Князем.

П.С. Ишь, чего выкаблучивают! ©
П.П.С. Свободу Юрию Деточкину блохам!

_________________
Рыба!

Когда блохи будут хаотично перепрыгивать , то , скорее всего , останутся несколько пустых клеток , а не одна . Когда же не останется пустых клеток ? В идеале - когда 2 пары соседних блох поменяются местами . Но - количество блох - не чётное . Следовательно , даже в самом идеальном варианте останется хотя бы одна пустая клетка .

_________________
А роза упала на лапу Азора ...

Есть и более сложные варианты - например, они перепрыгнут по/против часовой стрелки в четырёх квадратах 2х2, а остаток разобьётся на пары, но одна клетка будет пустой.
Или почти красиво: наружные клетки образуют кольцо, и там блохи прыгают по/против часовой стрелке, второе кольцо с такими же "правилами движения" получим из клеток, "опоясывающих" среднюю, и тогда блоха из средней клетки "присоседится" к одной из блох второго кольца.
А строгое доказательство нужно строить, начиная с попарного перемещения (как было сказано выше, одна блоха без пары - одна клетка пустая), а затем показывать, что различные варианты объединения пар в более сложные конструкции всё равно оставляют одну непарную клетку.

_________________
Начинается с малого полный развал! © Тимур Шаов

Есть очень простое доказательство.
Раскрасим доску "шахматами". Всесте с блохами.
При этом получится 13 белых клеток и 12 черных.
При прыжке каждая блоха попадет на клетку другого цвета.
Как минимум, 1 белая клетка останется пустой.