На столе лежат N>2 кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За один ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты и объединить их в одну. Выигрывает тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник

А "последний ход" - это значит второй игрок уже не может сделать хода ?
Ну, при трех орехах - выигрывает 2-й, однозначно.
При 4-х - 2-й тоже может выиграть:
после 1-го хода имеем 2,1,1
2-й игрок должен сделать 2,2

Похоже, что у 2-го всегда есть способ выиграть. Если вторым ходом создавать 2,2,***
Если 1-й следующим ходом делает 3,2,*** то 2-й должен сделать 4,2,***
В общем - 2-й создает по-возможности "четные" кучки.
Тогда 1-й вынужден создавать нечетную, пока может.
Если число орехов изначально четно - то точно, что 2-й выигрывает.
При нечетном числе орехов - в какой-то момент получится 1 нечетная кучка, остальные - четные.
При 5 - выигрывает 2-й.
А при 7 ?

1-й вариант
211111
22111
2221
223
25
7

2-й вариант
211111
22111
2311
241
25
7

По-моему - чтобы их нечетного числа получить в итоге ОДНУ кучу - это будет ЧЕТНОЕ число ходов.
Не знаю, есть ли N, при которых 1-й может выиграть.